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简约而不简单——小学数学课堂文化案例研究

[日期:2013-10-11]   来源:《泰州教育》2013年第2期  作者:蔡建华   阅读:2732次[字体: ]
   那么,在小学阶段我们需要怎样的数学课堂文化呢?《易经》曰,“简易约达。”我们可将“简”和“约”作为追求,构建形式简约、内蕴丰盈、务实高效的数学课堂。数学课堂教学中的“简约”,从教师“教”的方面可分为:“简单”的教学模式、“简洁”的教学情境、“简明”的教学内容、“简易”的教学手段、“简练”的教学语言等。同时,还需要对学生的“学”进行理性地规约,“约定”科学的学习范式和良好的学习习惯,从而形成完整的数学课堂教学文化。大量成功的教学案例表明,“简约”的课堂文化能让“教”变得流畅,“学”变得自然,教学效益得到显著提高。
   基于上述思考,构建小学数学课堂文化的操作策略有多个方面,限于篇幅,本文重点阐述关于“教”的三个方面:“简单”的教学模式、“简洁”的教学情境、“简明”的教学内容。
   一、“简单”的教学模式:基于问题解决的课堂结构
   问题解决是数学教学永恒的主题。随着课改的不断深化,“创设情境,提出数学问题→自主探索,建立数学模型→巩固练习,实践应用拓展→总结反思,完善知识结构”的课堂形态已成为广大教师的共识。但教师的时间和精力是有限的,在常态课堂上,必须使教学模式“简单化”,形成基于问题解决的课堂结构。
   问题解决最基本的三个环节:提出问题→解决问题→产生新问题(或强化问题)。因此,“简单”的教学模式应精简到这三个环节。首先呈现精心设计的问题情境,再引导学生从中提出问题,解决问题;在解决问题的过程中,诱发学生围绕课堂上习得的知识产生新的问题……如此不断循环,构成一条螺旋上升的“问题链”。
   案例1:“用数对确定位置”(苏教版小学《数学》五年级下册)
   1. 设置情境,提出问题,体会规则的必要性。
   师:请同学们不用手指,而用自己的语言告诉我班长所在的位置。
   (教师按照学生的表述走到学生中间去找,但是无法准确地找到班长。)
   师:我为什么没能一下子找到班长呢?
   生:因为我们说的第几组第几个和老师理解的标准不一样。
   2. 调动经验,解决问题,体验规则的一致性。
   师:怎样才能找到班长?看来需要有一个统一的规定,才便于我们准确地确定位置。在数学上,我们规定这样的竖排叫做“列”。(课件演示)因为大多数人的习惯是从左往右数,所以确定第几列也要从左往右数起。数数看,咱们班的座位有几列?
   师:像这样的横排叫做“行”。想一想,要确定第几行,应该怎么规定?是从前往后数,还是从后往前数?
   生:从前往后数。
   师:是啊,很多规定都有它的合理性,总是符合大多数人的习惯。
   师:现在我们再来看看班长的位置,竖着看,他在哪一列?横着看他又在哪一行?那么,班长的位置我们可以怎么说?
   3. 优化建构,产生新问题,领悟规则的合理性。
   师:请大家在练习本上记录班长的位置。(学生尝试之后,教师展示学生各具个性的记录方法:①第4列第3行;②4列3行;③43;④4,3……)
   师:仔细观察,看看这几种记录方法都有什么共同的地方?你认为哪种写法最好,为什么?
   ……
   师:在我们的生活中也经常用到数对来确定位置。看!小明家厨房的一面墙上贴着瓷砖,你能用数对表示四块装饰瓷砖的位置吗?

   生:(3,2)、(3,4)、(6,2)、(6,4)。
   师:仔细观察这里的4个数对,你又有什么新的发现?
   本课采用“简单”的教学模式,用“问题链”将课堂勾连成一个有机的整体。需要指出的是,采用“问题链”式的教学结构固然有效,但让学生养成在解决问题过程中产生新问题的习惯却并非易事,正如波利亚在指出学生解题后反思的现状时所说:“即便是相当优秀的学生,在得到题目的解答,并将整个论证简洁地写下来以后,也会合上书,去找其他的事做。”教师要有意识地加强对学生“问题意识”的培养,逐步将“主动产生新问题”作为对学生的日常要求。只有长期经历这样的训练,学生才可能形成探索问题的思维范式,“基于问题解决”的教学文化才有可能形成。
   二、“简洁”的教学情境:情境链与知识链的有机耦合
   有研究表明:面对有趣情境或者问题情境时,学生基于兴趣和好奇,会产生一定的问题意识。课堂教学要以“知识链”为线索,结合“问题链”设计一条“情境链”,再以这条“情境链”来组织课堂教学,设法将核心知识和情境链的节点进行有机地耦合。在情境链背景的辅佐下,学生对知识的发生、发展、理解、记忆和应用会变得简洁而高效。
   案例2:“用字母表示数”(苏教版小学《数学》四年级下册)
   [情境1]
   师(出示扑克牌):扑克牌中的字母A表示什么?字母J、Q、K呢?
   生:1,11,12,13。
   师:扑克牌中的这几个字母,分别表示几个确定的数。字母能不能表示变化的数呢?今天这节课我们就一起来研究“用字母表示数”。
   (借助学生非常熟悉的扑克牌,简洁地指向本课的核心——字母还可以表示不确定的数。)
   [情境2]
   师:数学王国正在举行盛大的晚会!入口处人山人海,聪明的小猴为了缓解大家排队等候时的焦急心情,正给大家表演节目呢,瞧!它正在用小棒摆三角形。

   课件依次呈现并提问:摆1个三角形要用几根小棒?摆2个三角形、3个三角形呢?归纳出数量关系:三角形的个数×3=小棒的总根数。
   课件切换情境图,图中看不出小猴摆的三角形的个数,提问:这一次小猴可能摆了多少个三角形呢?
   师:小猴摆了a个三角形,它用了多少根小棒,该怎样表示呢?
   (关于儿童数学概念发展水平的研究表明,大多数小学生把字母当做具体的对象,而不能把字母看做变量。情境2借助数量关系的归纳,减缓了从常量到变量之间的思维坡度。)
   [情境3]
   师:咱们来玩个猜年龄的游戏好吗?请这位小女孩来悄悄地告诉我她几岁了。
   师:大家一定也想知道老师的年龄吧?但是老师不直接告诉大家。可以告诉大家的是:我和这位小女孩两个人中一个是b岁,另一个是b+25岁(板书),猜猜看,b和b+25哪一个表示老师的年龄?
   师:你是怎么看出来的?能看出老师比她大多少岁吗?
   师:看到b+25这个式子,我们能联想到什么呢?比如,这位同学1岁时,老师多少岁?
   教师和学生共同列举几组年龄。小结:字母b表示的是一个可以变化的数,但只要b确定了,b+25也就确定了。
   师:她的年龄和老师的年龄在同时变化,什么没有变?
   生:年龄差。
   师:现在,谁有办法知道老师多少岁?
   生:只要问一下那位同学的年龄,加上25就是老师的年龄。
   师:很好!我们用b表示这个同学的年龄,那么我就是b+25岁,这儿的b+25不仅可以表示我的年龄,还可以表示我们俩年龄之间的关系。如果她11岁,我多少岁?当她36岁时,我多少岁?
   师:b还可以是什么数?谁来说一个尽可能大的数?
   生:99。
   师:那么老师多少岁?
   生:124岁。
   师:那时候老师可就是个老寿星了!(学生笑)b可以表示500吗?为什么?
   (从“猜年龄”这个有趣的问题情境自然地展开教学,帮助学生理解b+25的内涵。)
   用字母表示数的思想,深刻揭示了存在于一类数学问题中的共性和普遍性,把认识提到了一个更高的层次。但对于小学生而言,用字母表示数又是一个“难产”的概念,数学所特有的抽象性、概念性和严密性使得本课的学习容易流于“单一乏味”。
   上述案例表明,设置“简洁”的教学情境,让学生在适切的情境中反复体会,从而使理解不断加深,是教好这类概念起始课的有效途径。教学情境的创设要避免“为情境而情境”的倾向,好的情境总是真切地关照小学生的生活经验,倘若课堂远离了学生的现实生活,只有枯燥的抽象思维,小学生就会失去学习的原动力。更为重要的是,情境要指向数学知识的核心,二者需要有必然的相关性。“简洁”的教学情境贯穿整个课堂,可使零散的知识成为一个有机的整体,可使深奥的数学知识被学生同化并接受。对于小学生而言,“简洁”的情境让“枯燥”的数学有了生机和美感,而且因为有“简洁”的情境,学习变得事半功倍,更容易获得成功的体验,并从中享受学习带来的愉悦。
   三、“简明”的教学内容:核心依附的教学文化
   “问渠那得清如许?为有源头活水来。”简明的教学内容是简约课堂的物质保障。如果说简约的数学课堂是一道清澈的小溪,婉约、清新、流畅、自然,那它的“源头活水”又从何而来?在当今信息社会,我们能够利用的教学内容、教学资源非常丰富,然而,课堂教学的时间是有限的,学生的认知能力是现实的。少则明,多则惑,只有对教材大胆取舍,精选教学内容,学生才能学得轻松,课堂才会显现生机。当然,不能盲目取舍,取舍之间是教师深钻教材、厚积薄发的过程,是教师反思、总结、提炼、借鉴的过程。
   案例3:“圆的周长”(苏教版小学《数学》五年级下册)
   1. 复习旧知。
   课件出示:大圆之圆与小圆之圆同——《墨子》。提问:“同”是什么意思?你知道大圆和小圆有哪些相同的地方?
   2. 引入问题。
   小华和小丽分别沿着正方形和圆形的路线走一圈。谁走的路程多?要解决这个问题,需要知道什么?有什么办法能得到圆的周长呢?
   3. 问题聚焦。
   师生讨论绕绳法和滚动法,提出问题:绕绳法和滚动法有局限性,能否找到一种更一般的方法?
   正方形的周长与边长有关,圆的周长可能跟什么有关?

   出示车轮图,根据生活经验讨论得出:圆的直径越长,周长就越长;直径越短,周长就越短。由此可见,圆的周长与直径(或半径)有关系。
   师:正方形的周长等于4个边长之和,圆的周长可能是直径的多少倍呢?猜一猜。
   生1:我觉得圆的周长等于直径乘2。
   生2:我不同意!我是这样想的,圆的上半个这条线比直径长,下半个也比直径长(图1),圆的周长比直径的2倍还要多。
   师:猜测可不是随便瞎猜,要有依据地去猜,生2这一点做得好!
   生3:我觉得圆的周长是直径的3倍多一些。
   生4:我觉得圆的周长正好是直径的3倍。
   师:圆的周长会不会是直径的4倍呢?为什么?
   生1:4个直径接在一起就成了正方形了,比圆的周长长(图2),我认为圆的周长比直径的4倍少,好像是3倍。

   师:同学们,古代的数学家刚开始研究这个问题时也是这么认为的,在2000多年前的一本数学著作《周髀算经》用了“周三径一”这句话。有谁知道“周三径一”是什么意思?
   4. 动手实践。
   同桌合作,拿出课前准备的一些圆形材料,测量出周长和直径,再用计算器计算周长是直径的多少倍,体验“化曲为直”的思想。
   学生汇报测得的数据和计算结果,教师在黑板上记录3.1884……、3.2155442……、3.162393……、3.15476……五花八门的答案。
   师:有没有谁得到3的?我们得到的圆的周长与直径间的倍数与3相比,都怎样?《周髀算经》中“周三径一”这个说法准确吗?
   师:我们得到的数据各不相同,你觉得可能是什么原因?(学生讨论)
   师:古代数学家在研究圆的周长的时候和我们刚才一样,他们也遇到了和我们同样的问题和困惑。刚开始提出了“周三径一”的说法,后来发现应该是“周三径一有余”,但是究竟余多少,数学家们算出了各种各样不同的答案,就跟我们刚才研究的结果差不多。那么,圆的周长到底是直径的多少倍呢?
   5. 课件呈现。
   在学生愤悱之时,引出古人对圆周率的探究。
   课件呈现:刘徽的割圆术(详细介绍)——祖冲之算到3.1415926至3.1415927之间——2011年借助超级计算机计算出圆周率小数点后面六十万亿位。
   6. 拓展练习。
   你觉得下列问题可以怎么计算?
   A. 一个近似于圆形的湖泊,湖中央的一条堤坝(直径)长约2000米,沿湖有一条环湖路。环湖路长约多少米?(本题中圆周率可取3,让学生体会“周三径一”的实用价值。)
   B. “神舟”七号飞船绕着圆形轨道飞行,这个圆形轨道的直径是13441.9千米。
   飞船飞行一圈是多少千米?(本题中圆周率应尽量取得精确些。)
   7. 总结提升。
   师:通过今天的学习,你对圆又有了哪些新的认识?现在再来看“大圆之圆与小圆之圆同”这句话,这个“同”还指什么相同?
   生:大圆和小圆的圆周率也相同。
   师:对,任何一个圆的周长与它直径的倍数,也就是圆周率都是相同的。我们根据圆周率,就能解决很多有关圆的问题。
   在教学“圆的周长”时,我们不得不面对以下的现实:一部分学生在课前就已经知道圆周率表示周长和直径之间的倍数,还能将圆周率背诵到小数点后面多位,甚至知道如何运用圆周率计算周长。因此会有学生在借助圆形物体“操作”之后,汇报出诸如12.56、18.84等“精确”的测量结果,同时得出倍数为3.14!其二,学生误以为只要将测得的周长和直径的值相除,就一定会得到3.1415926……甚至不少教师也存在这样的错误认识,往往以“我们的测量不够精确,因此得不到3.1415926……”来自圆其说。第三,在理解圆周率、得出圆的周长公式之后,练习题大多是机械地乘3.14或除以3.14,名为“知识应用”,实为“计算操练”。倘若本课的教学不能解决这些问题,学生的实践能力和创新精神何来质的提升?
   本课的核心是“化曲为直”的思想,绕绳法和滚动法可以帮助学生体会这一思想,但是却无法让人信服地得出圆周率,这是本课最突出的矛盾所在。那么围绕核心,哪些活动是有利于学生发展的呢?第一,是猜测。与学生以前认识的平面图形不同,圆是曲线图形,圆的周长与直径之间的倍数关系需要学生有更好的空间观念和抽象思维能力,因此教师引导学生进行“有根据的”猜测是很有必要的。第二,是操作。通过实际操作,真实地感受“化曲为直”的数学思想。第三,是想象。在学生操作得出五花八门的答案,陷入愤悱之际,适时引入“割圆术”,借助想象体会极限思想,感受古代数学家的智慧。此外,本案例对数学史料的调用也别具匠心,摆脱了通常的“贴标签”的做法,选用学生能够理解的史料,将学生的探索过程和数学发展史对应起来,更有利于学生“融入”数学,感受数学的魅力。从这个角度来说,有“文化味”的数学课并非简单地添加一些“文化元素”,对数学文化的追寻必须回归到数学本身,无需“标签”,不求花哨,当静悄悄的课堂上流淌着火热的思考时,文化不远矣!
   “易者易知,简者易从,易知者有亲,易从者有功,有亲则可大,有功则可久。”“简明”的教学内容,就是要减去那些与教学目标无实质关联的认知负荷,形成核心依附的课堂教学文化。首先,从教学内容的数量上“瘦身”,凸显核心的内容,与其面面俱到、广种薄收,不如突出核心、聚少成多,实实在在地追求“一课一得”;其次,要尽可能贴近学生的思维实际,对教学的“逻辑起点”和学生的“现实起点”做到了然于胸,如此方能实现小学数学课堂的简约、高效。(作者单位:靖江市教育局教研室)

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